Contoh Soal dan Penyelesaiannya dalam Fungsi Produksi

Soal :

Diketahui fungsi produksi Q=10 K ^0,5 L ^0,5

B = 100 , pL =5,pK=15

Tentukan Q maksimum

Cara Substitusi

Q  = 10 K ^0,5 L ^0,5

MP_L  = 5 L ^-0,5 K ^0,5  =5.K^0,5 /L^0,5

MP_K =  5 K ^-0,5 L ^0,5  =5.L^0,5 /K^0,5

Syarat Untuk Q maksimum :

MP_L /MP_K  = P_L/P_K

5.K ^0,5/L ^{0,5  :}  5.K ^0,5/L ^0,5    = 5/15

K/L = 1/3

3K  = L

Substitusikan pada persamaan garis anggaran

100=5L + 15K

100=5(3K)+15K

100=30K

K = 3,33 dibulatkan 3,0

L = 9,99 dibulatkan 10.

Berapa besar Q maksimum? Kita masukkan nilai K = 3,3, L = 10 ke dalam fungsi produksi :

Q = 10 L^0,5 K^0,5

Q = 10 (10)^0,5 (3,3)^0,5

    = 57,45

B = 15(3,3) + 5(10)

   =  99,50 (B mendekati 100 karena ada oembulatan )

Apakah benar Q maksimum dan sesuai dengan anggaran perusahaan yang tersedia ?  Hal ini bisa dicek dengan memasukkan nilai K dan L yang berbeda dalam fungsi produksi.

Misalnya, untuk kombinasi K = 3, dan L = 9, atau kombinasi K = 3,50 dan L = 10.

K = 3, L = 9

Nilai Q = 10 (9) ^0,5 (3)^0,5

             = 51,96 ( Q < 57,16 )

Namun, perlu juga di cek dengan anggaran yang tersedia L

B = PK.K + PL,L

B = 3,50,  L = 10

Nilai Q = 10(10)^0,5 (3,5)^0,5

             = 112,5 ( Q > 57,16 )

Seperti di atas, perlu juga memeriksa dengan anggaran yang tersedia.

B = 15(3,5) + 5(10) = 102,5

B > 100, berarti defisit Anggaran

Angka Pengganda Lagrange

Fungsi produksi Q = 10 K^0,5 L^0,5 diubah menjadi fungsi Lagrange sebagai berikut :

Fungsi Lagrange :

L =  10 (0,5) K^0,5 L ^-0,5 + a ( 100 – pk K – pl L)

¶ L / ¶ K = ( 5L ^0,5 / K ^0,5 ) - a P_K = 0

¶ K / ¶ L = ( 5K ^0,5 / L ^0,5 ) - a P_L = 0

¶ L / ¶ a = 100 – P_K K - P_L L = 0

Dengan menyamakan masing – masing persamaan menjadi nol dan menyelesaikannya dalam sistem persamaan maka diperoleh kesetaraan L dalam K dan :

L = 3 K = 10

K = 10/3 = 3,33

Sumber : Pindyck, Robert S/Rubinfeld, Daniel L (1998). Microekonomi. Jakarta : Prenhallindo