Kamis, 05 April 2012

Contoh Soal dan Penyelesaiannya dalam Fungsi Produksi


Soal :

Diketahui fungsi produksi Q=10 K 0,5 L 0,5
B = 100 , pL =5,pK=15

Tentukan Q maksimum

Cara Substitusi
Q  = 10 K 0,5 L 0,5
MPL  = 5 L -0,5 K 0,5  =5.K0,5 /L0,5
MPK =  5 K -0,5 L 0,5  =5.L0,5 /K0,5

Syarat Untuk Q maksimum :
MPL /MPK  = PL/PK
5.K 0,5/L 0,5  :  5.K 0,5/L 0,5    = 5/15

K/L = 1/3
3K  = L

Substitusikan pada persamaan garis anggaran
100=5L + 15K
100=5(3K)+15K
100=30K
K = 3,33 dibulatkan 3,0
L = 9,99 dibulatkan 10.

Berapa besar Q maksimum? Kita masukkan nilai K = 3,3, L = 10 ke dalam fungsi produksi :

Q = 10 L0,5 K0,5

Q = 10 (10)0,5 (3,3)0,5
    = 57,45

B = 15(3,3) + 5(10)
   =  99,50 (B mendekati 100 karena ada oembulatan )

Apakah benar Q maksimum dan sesuai dengan anggaran perusahaan yang tersedia ?  Hal ini bisa dicek dengan memasukkan nilai K dan L yang berbeda dalam fungsi produksi.
Misalnya, untuk kombinasi K = 3, dan L = 9, atau kombinasi K = 3,50 dan L = 10.

K = 3, L = 9

Nilai Q = 10 (9) 0,5 (3)0,5
             = 51,96 ( Q < 57,16 )

Namun, perlu juga di cek dengan anggaran yang tersedia L

B = PK.K + PL,L
B = 3,50,  L = 10

Nilai Q = 10(10)0,5 (3,5)0,5
             = 112,5 ( Q > 57,16 )

Seperti di atas, perlu juga memeriksa dengan anggaran yang tersedia.

B = 15(3,5) + 5(10) = 102,5
B > 100, berarti defisit Anggaran

Angka Pengganda Lagrange
Fungsi produksi Q = 10 K0,5 L0,5 diubah menjadi fungsi Lagrange sebagai berikut :
Fungsi Lagrange :
L =  10 (0,5) K0,5 L -0,5 + a ( 100 – pk K – pl L)
¶ L / ¶ K = ( 5L 0,5 / K 0,5 ) - a PK = 0
¶ K / ¶ L = ( 5K 0,5 / L 0,5 ) - a PL = 0
¶ L / ¶ a = 100 – PK K - PL L = 0

Dengan menyamakan masing – masing persamaan menjadi nol dan menyelesaikannya dalam sistem persamaan maka diperoleh kesetaraan L dalam K dan :
L = 3 K = 10
K = 10/3 = 3,33


Sumber : Pindyck, Robert S/Rubinfeld, Daniel L (1998). Microekonomi. Jakarta : Prenhallindo

0 komentar:

Poskan Komentar