Mencari Keuntungan Maksimum

Berikut adalah contoh mencari keuntungan maksimum :

Diketahui :

Fungsi beaya total : TC = 5 + 10 Q – 2Q² + 0,25Q³

Fungsi permintaan  : P = 10 - 0.5Q

Dari fungsi yang diketahui dapat dicari MC, TR dan MR :

MC = d (TC)/dQ = 10 – 4Q + 0,75 Q²

TR = P.Q = ( 10 – 0,5Q ) ( Q ) = 10 Q – 0,5Q²

MR = d ( TR ) /dQ = 10 – Q

MR = MC

10 – Q = 10 – 4Q + 0,75 Q²

3Q – 0,75 Q² = 0

Q ( 3 – 0,75 Q ) = 0

Q = 4

Substitusikan Q = 4 pada persamaan :

p       

= TR – TC

= ( 10 Q – 0,5 Q² ) – ( 5 + 10Q - 2Q²  + 0,25 Q³ )

= [ 10(4) – 0,5 (4)² ] – [ 5 + 10(4) – 2(4)² + 0,25(4)³ ]

= 3

Jadi, 3 merupakan keuntungan maksimum.

Contoh Soal dan Penyelesaiannya dalam Fungsi Produksi

Soal :

Diketahui fungsi produksi Q=10 K ^0,5 L ^0,5

B = 100 , pL =5,pK=15

Tentukan Q maksimum

Cara Substitusi

Q  = 10 K ^0,5 L ^0,5

MP_L  = 5 L ^-0,5 K ^0,5  =5.K^0,5 /L^0,5

MP_K =  5 K ^-0,5 L ^0,5  =5.L^0,5 /K^0,5

Syarat Untuk Q maksimum :

MP_L /MP_K  = P_L/P_K

5.K ^0,5/L ^{0,5  :}  5.K ^0,5/L ^0,5    = 5/15

K/L = 1/3

3K  = L

Substitusikan pada persamaan garis anggaran

100=5L + 15K

100=5(3K)+15K

100=30K

K = 3,33 dibulatkan 3,0

L = 9,99 dibulatkan 10.

Berapa besar Q maksimum? Kita masukkan nilai K = 3,3, L = 10 ke dalam fungsi produksi :

Q = 10 L^0,5 K^0,5

Q = 10 (10)^0,5 (3,3)^0,5

    = 57,45

B = 15(3,3) + 5(10)

   =  99,50 (B mendekati 100 karena ada oembulatan )

Apakah benar Q maksimum dan sesuai dengan anggaran perusahaan yang tersedia ?  Hal ini bisa dicek dengan memasukkan nilai K dan L yang berbeda dalam fungsi produksi.

Misalnya, untuk kombinasi K = 3, dan L = 9, atau kombinasi K = 3,50 dan L = 10.

K = 3, L = 9

Nilai Q = 10 (9) ^0,5 (3)^0,5

             = 51,96 ( Q < 57,16 )

Namun, perlu juga di cek dengan anggaran yang tersedia L

B = PK.K + PL,L

B = 3,50,  L = 10

Nilai Q = 10(10)^0,5 (3,5)^0,5

             = 112,5 ( Q > 57,16 )

Seperti di atas, perlu juga memeriksa dengan anggaran yang tersedia.

B = 15(3,5) + 5(10) = 102,5

B > 100, berarti defisit Anggaran

Angka Pengganda Lagrange

Fungsi produksi Q = 10 K^0,5 L^0,5 diubah menjadi fungsi Lagrange sebagai berikut :

Fungsi Lagrange :

L =  10 (0,5) K^0,5 L ^-0,5 + a ( 100 – pk K – pl L)

¶ L / ¶ K = ( 5L ^0,5 / K ^0,5 ) - a P_K = 0

¶ K / ¶ L = ( 5K ^0,5 / L ^0,5 ) - a P_L = 0

¶ L / ¶ a = 100 – P_K K - P_L L = 0

Dengan menyamakan masing – masing persamaan menjadi nol dan menyelesaikannya dalam sistem persamaan maka diperoleh kesetaraan L dalam K dan :

L = 3 K = 10

K = 10/3 = 3,33

Sumber : Pindyck, Robert S/Rubinfeld, Daniel L (1998). Microekonomi. Jakarta : Prenhallindo

Produk Total, Rata-Rata dan Marginal

Produk Total, Rata-Rata dan Marginal

           Dalam mempelajari fungsi produksi, ada 2 macam hubungan antara input dengan output yang sangat berguna bagi pembuatan keputusan manajerial.

Pertama adalah hubungan antara output dengan beberapa input digunakan secara bersama-sama. Hubungan ini kita kenal sebagai karateristik returns to scale dari sistem produksi. Konsep Returns to Scale ini memainkan peranan penting dalam pengambilan keputusan manajerial. Konsep ini mempengaruhi skala produksi yang optimal atau peluang produksi suatu perusahaan. Konsep ini juga mempengaruji sifat persaingan dalam suatu industri dan oleh karena itu, konsep returns to scale ini juga merupakan faktor yang menentukan tingkat profitabilitas suatu investasi.

            Produktivitas faktor produksi atau tingkat peenerimaan faktor produksi, Istilah produk total digunakan untuk menunjukkan output total dari suatu sistem produksi.

Secara lebih umum, produk total dari suatu faktor produksi bisa ditunjukkan sebagai sebuah fungsi yang menghubungkan output dengan jumlah sumberdaya yang digunakan. Produk total dari X ditunjukan oleh fungsi produksi:

Q = f ( X | Y =2 )

Sumber buku  :

Arsyad, Lincolin (1993). Ekonomi Manajerial, Ekonomi Mikro Terapan Untuk Manajemen Bisnis. Yogyakarta : BPFE-Yogyakarta

Pindyck, Robert S/Rubinfeld, Daniel L (1998). Microekonomi. Jakarta : Prenhallindo

Lipsey, Richard G/Courant, Paul N/Purvis, Douglas D/Steiner, Peter O (1993) Economics 10th ed. Inggris : Harper & Row

Fungsi Produk Total Sebuah Input

Dengan adanya fungsi produk total untuk sebuah input, maka produk marginal (MP) dan produk rata-rata (AP)-nya secara gampang bisa diperoleh. Pertama, ingat bahwa produk marginal (MP) dari faktor produksi X (MP_X) adalah perubahan output yang disebabkan oleh perubahan 1 unit faktorproduksi X, dengan menganggap input-input lainnya tetap MP-nya ditunjukan oleh hubungan :

                        MP_{X  =}   Delta Q/Delta X

Dimana Q adalah perubahan output yang terjadi karena perubahan input variabel X sebesar X unit, dengan anggapan bahwa jumlah input lainnya (Y) tetap.

Jika suatu input bisa diubah, maka MP-nya bisa diperoleh dengan cara mencari turunan parsial dari fungsi produksi :

                        MP_X   = Alfa Q/ Alfa X

Produk rata-rata dari suatu faktor produksi adalah produksi total itu dibagi dengan jumlah unit input yang digunakan atau :

                        AP_X   =  Q/X

Sumber buku  :

Arsyad, Lincolin (1993). Ekonomi Manajerial, Ekonomi Mikro Terapan Untuk Manajemen Bisnis. Yogyakarta : BPFE-Yogyakarta

Pindyck, Robert S/Rubinfeld, Daniel L (1998). Microekonomi. Jakarta : Prenhallindo

Lipsey, Richard G/Courant, Paul N/Purvis, Douglas D/Steiner, Peter O (1993) Economics 10th ed. Inggris : Harper & Row

Fungsi Produksi Continyu

Fungsi Produksi yang kontinyu mempunyai arti bahwa input bisa di variasikan secara kontinyu. Untuk fungsi produksi yanh kontinyu, semua kemungkinan kombinasi input bisa di sajikan mealui gambar permukaan input, seperti ditunjukan dalam gambar 1.2 Setiap titik pada bidang XY menyajikan kombinasi input X dan Y yang akan menghasilkal tingkat output (Q) tertentu, ditentukan oleh hubungan yang di tunjukan pada persamaan 1.1.

Gambar 1.1

Permuakaan Input untuk Fungsi Produksi :

Q = f ( X, Y )

Sumber buku  :

Arsyad, Lincolin (1993). Ekonomi Manajerial, Ekonomi Mikro Terapan Untuk Manajemen Bisnis. Yogyakarta : BPFE-Yogyakarta

Pindyck, Robert S/Rubinfeld, Daniel L (1998). Microekonomi. Jakarta : Prenhallindo

Lipsey, Richard G/Courant, Paul N/Purvis, Douglas D/Steiner, Peter O (1993) Economics 10th ed. Inggris : Harper & Row

                                                                                              

Tabel Produksi

Tabel Produksi

Jumlah Y	Jumlah Output
Yang
digunakan
10	52	71	87	101	113	122	127	129	130	131
9	56	74	89	102	111	120	125	127	128	129
8	59	75	91	99	108	117	122	124	125	126
7	61	77	87	96	104	112	117	120	121	122
6	62	72	82	91	99	107	111	114	116	117
5	55	66	75	84	92	99	104	107	109	110
4	47	58	68	77	85	91	97	100	102	103
3	35	49	59	68	76	83	89	91	90	89
2	15	31	48	59	68	72	73	72	70	67
1	5	12	35	48	56	55	53	50	46	40
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Jumlah X yang digunakan

Tabel 1.1 Tabel Produksi

Sumber buku  :

Arsyad, Lincolin (1993). Ekonomi Manajerial, Ekonomi Mikro Terapan Untuk Manajemen Bisnis. Yogyakarta : BPFE-Yogyakarta

Pindyck, Robert S/Rubinfeld, Daniel L (1998). Microekonomi. Jakarta : Prenhallindo

Lipsey, Richard G/Courant, Paul N/Purvis, Douglas D/Steiner, Peter O (1993) Economics 10th ed. Inggris : Harper & Row

Fungsi Produksi

Fungsi Produksi

Fungsi Produksi menggambarkan keluaran maksimum yang sebuah perusahann dapat memproduksi untuk setiap kombinasi masukan tertentu, bisa disebut juga menghubungkan input dengan output. Fungsi produksi menentukan tingkat output maksimum yang bisa di produksi dengan sejumlah input tertentu, atau sebaliknya. Fungsi produksi ini ditentukan oleh teknologi yang digunakan dalam proses produksi. Oleh karena itu, hubungan input/output untuk setiap sistem produksi merupakan suatu fungsi dari tingkat teknologi pabrik, peralatan, tenaga kerja, bahan-bahan abaku dan lain-lain yang digunakan dalam suatu perusahaan.

            Tabel 1.1 menyajikan sistem produksi 2input-1output. Setiap elemen pada tabel tersebut menujukan kuantitas Q maksimum yang bisa di hasilkan dengan kombinasi X dan Y tertentu. Misalnya, tabel tersebut menunjukan bahwa kombinasi antara 2 unit X dan 3 unit Y bisa menghasilkan 49 unti output; 5 unit X dan 5 unit Y bisa menghasilkan 92 unit output; 4 unit X dan 10 unit Y menghasilkan 101 unit Q, dan seterusnya.

Sumber buku  :

Arsyad, Lincolin (1993). Ekonomi Manajerial, Ekonomi Mikro Terapan Untuk Manajemen Bisnis. Yogyakarta : BPFE-Yogyakarta

Pindyck, Robert S/Rubinfeld, Daniel L (1998). Microekonomi. Jakarta : Prenhallindo

Lipsey, Richard G/Courant, Paul N/Purvis, Douglas D/Steiner, Peter O (1993) Economics 10th ed. Inggris : Harper & Row